Technické plochy

Bézierovy plochy

Bézierovy plochy stejně jako plochy Fergusonovy a Coonsovy, kterými se budeme zabývat dále, patří mezi tzv. technické plochy. Motivy, které vedly k rozvoji teorie těchto ploch, jsou charakterizovány snahou oprostit uživatele grafických systémů od matematiky a úsilím o maximální geometrickou názornost. Uživatel modeluje plochu tak, že většinou zadává „řídící body“ (např. rohy), okrajové křivky, tečné vektory apod.

Bézierova bikubická plocha: je dvojrozměrným zobecněním Bézierovy kubiky. Její parametrické rovnice vyjádříme v maticové podobě:

kde polynomy známe již z Bézierovy kubiky, pro parametry je a body jsou řídící body plochy. Ty tvoří tzv. řídící polygon, pomocí něhož plochu tvarujeme (na připojeném obrázku vyznačen červeně, resp. zeleně).

Dá se dokázat (a z obrázku je také patrné), že hrany řídícího polygonu vycházející z bodů jsou tečny plochy ve směru souřadných os a že okraje plochy jsou tvořeny Bézierovými kubikami.

Příklad 1.: Naprogramujme konstrukci Bézierovy bikubické plochy.

Pro tyto účely bude vhodnější vyjádřit rovnici plochy trochu jinak. Jestliže bychom začali výše uvedený maticový zápis roznásobovat, je zřejmé, že bod  plochy dostaneme jako součet

Tento součet je třeba rozepsat v jednotlivých souřadnicích. Sestavme tedy proceduru BezierePlane (vzhledem k tomu, že k rozlišení bodů řídícího polygonu je zapotřebí dvou indexů, jejich jednotlivé souřadnice již nebudeme rozlišovat indexem, ale písmenem).

procedureTDraw3D.BezierePlane(Sender:TObject);

type TPointOfGrid = record x,y,z:Double;end;

TGrid=array [0..3,0..3] of TPointOfGrid;

{Deklarujme typ TPointOfGrid jako}

var P:TGrid; {záznam tří reálných souřadnic a TGrid jako dvojrozměrné pole - matici}

i,j :Integer; {těchto záznamů}

Alfa,Beta:Double; {pohledové úhly}

Protože polynomy (tzv. Bernsteinovy polynomy se liší podle indexu i, naprogramujeme si jejich vyčíslování jako funkci:

Function B(i:Integer;t:Double):Double;

begin

Case i of

0:B:=(1-t)*(1-t)*(1-t); 1:B:=3*t*(1-t)*(1-t);

2:B:=3*t*t*(1-t); 3:B:=t*t*t;

end;

end;

Samotný součet pak můžeme počítat procedurou Bezi:

Procedure Bezi(r,s:Real;var A:T3DPoint);

var i,j:Integer;

begin

A[1]:=0;

for i:=0 to 3 do for j:=0 to 3 do

A[1]:=A[1]+P[i,j].X*B(i,r)*B(j,s);

A[2]:=0;

for i:=0 to 3 do for j:=0 to 3 do

A[2]:=A[2]+P[i,j].Y*B(i,r)*B(j,s);

A[3]:=0;

for i:=0 to 3 do for j:=0 to 3 do

A[3]:=A[3]+P[i,j].Z*B(i,r)*B(j,s);

end;

Konstrukce sítě řídících bodů a samotné plochy pak vypadá následovně:

begin

x1:=-230;x2:=240;y1:=-300;

With Image1 do y2:=y1+(x2-x1)*Height/Width;

Scale(x1,x2,y1,y2);Alfa:=40;Beta:=30; View(Alfa,Beta);

{**** definice řídícího polygonu ******}

P[0,0].X:= 10;P[0,0].Y:= 10;P[0,0].Z:= 150;

...........................................

P[3,3].X:=300;P[3,3].Y:=300;P[3,3].Z:=-100;

for i:=0 to 3 do {„červená“ část polygonu}

begin

for j:=0 to 3 do

begin Q[j,1]:=P[i,j].X;Q[j,2]:=P[i,j].Y;Q[j,3]:=P[i,j].Z; end;

PolyLine(Q,4,255,0,0)

end;

for i:=0 to 3 do {„zelená“ část polygonu}

begin

for j:=0 to 3 do

begin Q[j,1]:=P[j,i].X;Q[j,2]:=P[j,i].Y;Q[j,3]:=P[j,i].Z; end;

PolyLine(Q,4,0,255,0)

end;

end;

hr:=0.1;hs:=0.1; r:=0; {konstrukce samotné plochy - podélné řezy}

While r<=1+hr do

begin

s:=-hs;i:=0;

While s<=1+hs do

begin Bezi(r,s,C[i]);i:=succ(i);s:=s+hs;end;

PolyLine(C,i-1,0,0,200);r:=r+hr;

end;

................. {příčné řezy analogicky přehozením cyklů}

end;

Výstup z tohoto programu jsme viděli výše. Jestliže řídící polygon zadáme tak, že ztotožníme body na některém jeho okraji, přejde tento okraj v bod a dostáváme plochu „trojúhelníkovou“, jak je opět patrné z připojeného obrázku.

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Jednou z výhod těchto technických ploch je jednoduchost sestavování velkých ploch z jednotlivých „plátů“. Technická praxe většinou vyžaduje napojování hladké, tj. takové, aby výsledná plocha byla spojitá i se svými minimálně prvními parciálními derivacemi. U Bézierových ploch lze toto podmínku splnit velmi jednoduše. Okraj, na který chceme napojovat, musí být samozřejmě společný, což zařídíme společným okrajem řídícího polygonu. Příčné hrany sousedních polygonů (vyznačené silně) pak musí ležet na téže přímce. Tato podmínka je zřejmá především u okrajových hran, které musí tvořit společnou tečnu obou plátů. Nejjednodušeji tuto podmínku splníme tak, že nové krajní body zadáme středově souměrné se „starými“ podle bodů společného okraje.

Příklad 2.: Naprogramujme hladké spojení dvou Bézierových plátů.

Zadávání nového polygonu pomocí polygonu starého pak může v programu vypadat např. takto:

for i:=0 to 3 do

begin

P[0,i]:=P[3,i]; {předefinování „staré čtvrté řady“ na „první novou“}

P[1,i].X:=2*P[0,i].X-P[2,i].X;

{nastavení x, y, z tové souřadnice bodu v „nové druhé řadě“ }

P[1,i].Y:=2*P[0,i].Y-P[2,i].Y;

{středově souměrně s toutéž souřadnicí ve „staré třetí řadě“}

P[1,i].Z:=2*P[0,i].Z-P[2,i].Z;

end;

V „novém“ polygonu nyní zbývá nastavit třetí a čtvrtou řadu bodů a opakovat konstrukci plochy. Protože nyní sestrojujeme pláty dva, je z úsporných důvodů celá konstrukce řídícího polygonu a následně i plátu vyvedena do samostatné procedury s názvem BeziPlate s celkem šesti parametry typu byte. První tři definují barvu, kterou má být sestrojen polygon, druhá trojice pak barvu samotné plochy.

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Obecná Bezierova plocha: vznikne zobecněním Bezierovy bikubické plochy. Její rovnici obdržíme z rovnice (1) tím, že matici řídících bodů typu 4´4 nahradíme maticí typu m´n, n; m³4 a speciální kubické Bernsteinovy polynomy nahradíme polynomy obecnými - viz. kpt. 3.9., příklad 3. Pro implementaci na počítači je opět výhodnější rovnice

Toto zobecnění není příliš složité a je zcela analogické postupu v jednorozměrném případě, uvedeném v kapitole 3.9., proto se jím nebudu dále zabývat. Výstup si můžeme prohlédnout na připojeném obrázku.

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Racionální Bezierova plocha: je 3-D zobecněním racionální Bezierovy křivky. Plocha je určena rovnicí

, kde

a jsou váhy přiřazené jednotlivým řídícím bodům. Implementaci lze provést následujícím způsobem:

Function RatioBezi(i,j:Integer;r,s:Double) :Double;

var k,l:Integer;Value:Double;

begin

Value:=0;

For k:=0 to m do

For l:=0 to n do Value:=Value+B(k,r)*B(l,s)*w[k,l];

RatioBeziere:= B(i,r)*B(j,s)*w[i,j]/Value;

end;

ProcedureBezierePlane(r,s:Double; var A:T3DPoint);

var i,j:Integer;

begin

A[1]:=0;A[2]:=0;A[3]:=0;

for i:=0 to m do for j:=0 to n do

begin

A[1]:=A[1]+P[i,j].X*RatioBezi(i,j,r,s);

A[2]:=A[2]+P[i,j].Y*RatioBezi(i,j,r,s);

A[3]:=A[3]+P[i,j].Z*RatioBezi(i,j,r,s);

end;

end;

V programu je pak třeba deklarovat a naplnit matici váhových koeficientů, procedura BeziPlane pak pro jednotlivé hodnoty parametrů generuje body Bézierovy racionální plochy. Váhy mají analogický význam jako v jednorozměrném případě. Jejich velikost určuje vzdálenost plochy od příslušných řídících bodů. Jsou-li všechny váhy rovny jedné, dostáváme „klasickou“ Bézierovu plochu. V řešeném příkladu zadává uživatel váhové koeficienty pomocí objektu SpinEdit, jehož hodnoty mohou být pouze celočíselné. Váhu je třeba interpretovat jako procenta (jednička znamená stoprocentní váhu).

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Na připojených obrázcích si můžete prohlédnout, jak tato plocha vypadá pro váhy a pro čtyři „prostřední“ váhy je v prvním případě , ve druhém pak .

Fergusonovy plochy

Tyto plochy vznikly v r. 1964 pro potřeby firmy Boeing a jsou dvojrozměrným zobecněním Fergusonových křivek (viz kpt. 3.8). Jsou určeny rovnicí

kde ; ;

jsou body určující rohy plochy, tečné vektory v rozích a  třísložkové zkruty v rozích. Při zadávání musíme mít na paměti orientaci tečných vektorů a zkrutů dle schématu:

Pokud označíme všechny prvky matice písmenem , je Fergusonova plocha určena rovnicí

a její implementace je téměř shodná s Bézierovou bikubickou plochou (liší se pouze polynomy místo ). Jsou-li zkruty nulové vektory, jedná se o plochu dvanáctivektorovou, neboť je určena dvanácti prvky (čtyřmi rohy a osmi tečnými vektory), jinak mluvíme o ploše šestnáctivektorové (přibývají čtyři zkruty). Na těchto obrázcích vidíte plochu dvanáctivektorovou a plochu šestnáctivektorovou s týmiž tečnými vektory.

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Coonsovy plochy

Coonsova plocha řízená polygonem: je opět zobecněním Coonsovy kubiky. Situace je velmi podobná předchozímu případu a z programátorského hlediska se liší pouze tvarem použitých polynomů. Rovnici této plochy můžeme psát ve tvaru:

kde polynomy jsou tentokrát tvaru

Příklad 1: Naprogramujme Coonsovu plochu řízenou polygonem. Polynomy nastavíme ve Function C analogicky jako v předchozím příkladě a zbytek kódu můžeme převzít zcela beze zbytku.

Výstup vidíme na připojeném obrázku.

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Řídící polygon již není tak názorný jako u plochy Bézierovy, Coonsovy plochy však patří v technické praxi k nejpoužívanějším. Jejich hlavní výhoda je totiž v jejich napojování. Vhodnou volbou řídících polygonů jednotlivých plátů lze totiž docílit toho, že výsledná plocha má hladkost druhého stupně (plocha má spojité i druhé parciální derivace) a je tedy hladší než plocha plátovaná z Bézierových ploch. Spojení Coonsových plátů této hladkosti dosáhneme prostou duplikací tří řad „starého“ řídícího polygonu. Nový polygon se tedy od starého liší jen v jedné řadě.

Příklad 2.: Napojování Coonsových plátů řízených polygonem: Programování tohoto napojování je velmi jednoduché. Jako příklad uvádíme napojování podél hran polygonu indexovaných indexem j (čtyřčlenný polygon se třikrát opakuje pomocí indexu i): for i:=0 to 2 do for j:=0 to 3 do P[i,j]:=P[i+1,j]; čtvrtý pak dodefinujeme takto: for j:=0 to 3 do P[3,j]:=......; Zbytek kódu je zcela analogický příkladu 16. Výstup je opět přiložen (je vynecháno nyní již zcela nenázorné vykreslení řídících polygonů).

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Coonsova plocha definovaná okrajem: je jednoznačně určena čtyřmi křivkami, které musí tvořit její uzavřenou hranici. Určeme plochu parametrickými rovnicemi s parametry jinými slovy pomocí parametrů  určeme libovolný bod plochy . Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že , neboť každou plochu či křivku lze parametrizovat tak, aby tato podmínka byla splněna. Je-li tedy plocha dána (zatím neznámým) předpisem ; , pak pro jednotlivé okrajové křivky jsou zřejmě splněny podmínky:

1. křivka: ; 2. křivka: ;

3. křivka: ; 4. křivka: ;

Označme tedy předpisy pro známé hraniční křivky symbolicky ; ; ; . Neznámý předpis pro plochu je _, rohy plochy tvoří body ; ; ; ._. Na připojeném schématu vidíte popsaný půdorys této plochy, ze kterého je také patrná matice použitá při jejím analytickém vyjádření. Tato plocha má totiž rovnici

Toto implicitní vyjádření je sice velmi názorné, pro algoritmizaci však nevhodné. Pro implementaci na počítači je třeba matice na levé straně roznásobit a jedinou neznámou je třeba vyjádřit. To přenechávám čtenáři jako cvičení a uvádím pouze výsledek:

(1)

Dostáváme tak explicitní parametrické vyjádření plochy vhodné pri implementaci na počítači, které je třeba již jen třikrát rozepsat do jednotlivých souřadnic.

Příklad 3.: Sestrojme algoritmus pro znázornění plochy určené okrajem.

procedure TDraw3D.CoonsPlane(Sender: TObject);

var Prs :TArrayOf3DPoints;

{pole bodů pro vykreslování povrchových křivek}

Alfa,Beta:Double; {pohledové úhly}

i,j :Integer; {indexy}

Pr0,Pr1,P0s,P1s,P00, P01,P10,P11:T3DPoint; {body matice plochy}

Procedure Border1(t:Real;var P:T3DPoint); {parametrické rovnice první okrajové křivky}

begin P[1]:=0; P[2]:=t; P[3]:=cos(1)/Sin(1)*Sin(2*(0.5-t))/Cos(2*(0.5-t));end;

Procedure Border2(t:Real;var P:T3DPoint);

{parametrické rovnice druhé okrajové křivky}

.........................................

Procedure Border3(t:Real;var P:T3DPoint);

{parametrické rovnice třetí okrajové křivky}

.........................................

Procedure Border4(t:Real;var P:T3DPoint);

{parametrické rovnice čtvrté okrajové křivky}

.........................................

begin

With Draw3D do {uživatelská soustava a pohledové úhly}

begin

x1:=-0.7;x2:=0.8;y1:=-1.5;y2:=1; Scale(x1,x2,y1,y2);Alfa:=40;Beta:=20;View(Alfa,Beta);

end;

P00[1]:= 0;P00[2]:= 0;P00[3]:= 1; P10[1]:= 1;P10[2]:= 0;P10[3]:=-1; {rohy plochy}

P11[1]:= 1;P11[2]:= 1;P11[3]:=-1; P01[1]:= 0;P01[2]:= 1;P01[3]:=-1;

hr:=0.05;i:=1;r:=0; {první okraj}

While r<=1+hr do

begin Border1(r,Prs[i]);i:=succ(i);r:=r+hr; end;

PolyLine(Prs,i-1,200,0,200);

.............................................. {další okraje analogicky}

Okraje plochy (viz procedury Border1 - Border4) jsou rovinné (tedy jednoparametrické) křivky, které musí být navrženy tak, aby na sebe v prostoru navazovaly. Jejich prostorové rozmístění nad stranami čtverce bude dáno tím, že budou „přičítány správným směrem“ k rohům plochy. Parametrickými rovnicemi v Border1-Border4 je třeba zajistit správné „rozpětí“ a výšku jejich koncových bodů.

r:=0;hr:=0.05;hs:=0.05; {konstrukce plochy - první osnova řezů}

While r<1+hr do

begin

s:=0;i:=1;

While s<1+hs do

begin

Border1(s,P0s);Border2(r,Pr1); Border3(s,P1s);Border4(r,Pr0);

{první souřadnice i tého bodu pole - viz rovnice (1) }

Prs[i,1]:=-P00[1]*(1-r)*(1-s)+Pr0[1]*(1-s)-P10[1]*r*(1-s)

+P0s[1]*(1-r)+P1s[1]*r-P01[1]*(1-r)*s+Pr1[1]*s-P11[1]*r*s;

Prs[i,2]:=-P00[2]*(1-r)*(1-s)+Pr0[2]*(1-s)-P10[2]*r*(1-s)+…

{druhá souřadnice i tého bodu pole-viz rovnice (1)}

Prs[i,3]:=-P00[3]*(1-r)*(1-s)+......;

{třetí souřadnice i tého bodu pole-viz rovnice (1)}

s:=s+hs;i:=succ(i);

end;

PolyLine(Prs,i-1,200,0,0);r:=r+hr;

end;

……………………. {druhá osnova řezů přehozením cyklů}

end;

Zde najdete kompletní zdrojový kód a zde spustitelný kód

Jestliže dvě protilehlé okrajové křivky budou přímky, dostáváme speciální případ plochy určenou okrajem, tzv. plochu přímkovou (v tom případě je celá jedna soustava řezů tvořena přímkami).

Obecně nemusí mít bilineární plochy čtvercový půdorys (ztotožněním dvou rohů plochy lze např. obdržet i zde trojúhelníkové pláty), hraniční křivky dokonce nemusí být ani rovinné. Konstrukce těchto ploch je však poněkud obtížnější a vymyká se rozsahu tohoto textu.