ZÁKLADY TEORIE ODR

Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, jejíž neznámá je funkce (jedné proměnné), a která obsahuje derivaci (příp. derivace) této neznámé funkce. Řád nejvyšší derivace pak nazveme řádem rovnice. Rovnice tohoto typu hrají zásadní roli při modelování mnoha technických a přírodovědných problémů. Aby tyto modely měly řešení určeno jednoznačně, je třeba s danou rovnicí uvažovat i doplňující podmínky, jejichž  počet je roven řádu rovnice. Jsou-li tyto podmínky předepsány pouze v jednom (nejčastěji počátečním) bodě, nazývají se podmínkami počátečními. Jsou-li předepsány v různých (nejčastěji okrajových) bodech, nazývají se podmínkami okrajovými.

Pro několik speciálních typů diferenciálních rovnic prvního řádu (a nejen prvního řádu) jsou známy metody vedoucí k nalezení přesného řešení.

V obecném případě musíme přistoupit k numerickému (tj. přibližnému) řešení. Při jeho použití je vhodné mít k dispozici informaci, že daný počáteční problém má právě jedno řešení; z matematického hlediska tuto informaci dává Picardova věta. Numerické řešení je pak obvykle založeno na přibližné náhradě derivace hledané funkce, příp. na integraci diferenciální rovnice a následné přibližné náhradě integrálu. Právě způsob a přesnost této náhrady je rozhodující při odvozování jednotlivých numerických metod. Tyto metody se klasifikují z několika hledisek. Mezi nejdůležitější hlediska patří konvergence metody, stabilita,  objem výpočtů a odhad chyby. 

STUDIJNÍ TEXT (23.9.2007)

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY (28.10.2007)